Центр юридических услуг

Все о ваших правах

Вычислить пределы применяя правило лопиталя

Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или :

Правила Лопиталя

Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется:

Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно:

Очередной папуас тоже сдаётся перед формулой . В данном случае :

Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы. Методы решения пределов, Замечательные эквивалентности, где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя.

Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи:

Аналогичное задание для самостоятельного решения:

Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя

В свою очередь на огонёк подтягиваются собутыльники и более экзотические товарищи . Метод трансформации прост и стандартен:

Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы.

Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками.

6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы

Раскрытие неопределенностей сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если , а при , то применяем преобразование

бесконечность или ноль на ноль является применение правила Лопиталя: предел отношения двух

В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования

5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность .

бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,

3) Учитывая неопределенность применяем предыдущее правило

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на

Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль . Для избавления от

Опять получили неопределенность вида и повторно применяем правило Лопиталя

2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность . По правилу Лопиталя находим

Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что

Правило Лопиталя

Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x0 в том случае, когда производная не существует.

Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x0.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Вывод: показательная функция (y=a n ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n ).

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x1<x2, принадлежащих (a;b), выполняется ( ).

Точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.

Если функция , дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке экстремум, то производная .

Тогда по определению существует такая ее окрестность , в которой выполняется неравенство < .

Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:

Точки и разбивают числовую ось на интервалы , и .

4) промежутки монотонности и точки экстремума;

значит, функция имеет наклонную асимптоту , где

а) Если при вычислении предела получена неопределенность вида , то для ее раскрытия нужно и числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую, входящую в них степень аргумента:

2) Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие перегиба, решив уравнение

Выделяя структуру второго замечательного предела, получим:

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя

3) Определим знак производной на полученных промежутках:

2) определим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, решив уравнение :

поэтому разрыв возможен только в точках и .

в) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции

Функция определена на всей числовой оси, т.е. ,

Односторонние пределы функции в точке конечны, но не равны. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода, а именно точкой скачка функции.

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя трижды правило Лопиталя, получим

Решение. Имеем неопределенность вида 1  . Но (1 + x) 1/x = e 1/x  ln(1+x)

Пример 3. Вычислить производную неявной функции.

Определение 3. Производная называется производной первого порядка.

Неопределенности вида 0 0 , 1  ,  0 с помощью тождества

Производная от называется производной второго порядка или второй производной от функции f(x) и обозначается , ,

Иными словами, для неопределенностей вида или предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

Производная n-го порядка есть производная от производной (n-1)-го порядка, т.е. .

Чтобы найти производную неявной функции у по аргументу х, заданной уравнением F(x; y)=0, необходимо продифференцировать левую и правую части этого уравнения, считая у функцией от х . Из полученного линейного уравнения находим искомую производную .

Вычислить пределы применяя правило лопиталя

Правило Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 за исключением, быть может самой точки x0, причем, в этой окрестности и, если = = 0 или = = , то

Производная от называется производной третьего порядка или третьей производной от функции f(x) и обозначается , ,

Решение. Имеем неопределенность вида  0 .

Proudly powered by WordPress