Центр юридических услуг

Все о ваших правах

Правило умножения числа на произведения

Упр. 3, с. 102 служит повторению переместительного свойства умножения.

Упр. 1—2, с. 102 выполняются аналогично уроку 4 по теме «Умножение числа 3. Деление на 3».

Упр. 4—5, с. 102—103 выполняются под руководством учителя.

— Посмотрите внимательно на получившиеся результаты и скажите, что интересного вы заметили? (Каждый из них больше предыдущего на 6.) Почему, как вы думаете? (Потому что мы умножали число 6 последовательно на числа от 7 до 9.)

— Какой пример должен быть следующим в таблице? (6 · 7.) Выполните вычисления двумя способами и запишите решение. Продолжайте дальше составлять и решать примеры на умножение числа 6.

— Восстановите цепочку. (Учитель показывает на доску, где изображена цепочка примеров.)

2) продолжить работу по совершенствованию вычислительных навыков, умения решать составные задачи.

— Сегодня мы будем составлять таблицу умножения числа 6 и таблицу деления на 6. Вспомним все случаи умножения 6, когда результат не превышает 20. (Дети называют произведения: 6 · 1 = 6, 6 · 2 = 12, 6 · 3 = 18. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях записывают эти произведения в столбик.) Какие ещё примеры умножения числа 6 можно записать, используя переместительное свойство умножения? (Дети называют: 6 · 4 = 24, 6 · 5 = 30. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях продолжают столбик примеров умножения числа 6.)

— За 5 конфет заплатили 20 р. Сколько стоит 1 такая конфета? 8 таких конфет?

— Запишите теперь произведение — шестью шесть. Какое выражение вы записали? (6 · 6.) Найдите его значение. (36.) Как узнали? (По 6 взяли слагаемым 6 раз.) Как вычислить этот результат быстрее, зная ответ предыдущего примера? (Надо к 30 прибавить 6, получится 36.) Запишем оба способа вычислений так:

Упр. 6—7, с. 103 можно выполнить устно в ходе фронтальной беседы с классом.

УРОК 18. Умножение числа 6. Деление на 6 (с. 102—103)

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число y.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если про­изведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

Заметим еще, что умножение на число у× 10k, где у – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k. Например, 52×300 = 52×(3×102) = (52×3)×102 = 156×102 = 15600.

Умножение в десятичной системе счисления

Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х = а10n + аn-1×10n-1 + . + а1×10 + а0 на 10k:

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

-таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

— записи чисел в десятичной системе счисления;

+ с0) = bn×10n+1 + (сn + bn­-1) ×10n + . + (с1 + b0) × 10 + с0). По таблице сложения заменяем суммы сk + bk-1 где 0 £ к £ п и k = 0, 1, 2, . n, их значениями. Если, например, с0 одно­значно, то последняя цифра произведения равна с0. Если же с0 = 10 + т0, то последняя цифра равна т0, а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х × у.

причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведе­ния ак×у, где 0 £ k £ п, соответствующими значениями аk× у = bk×10 + с и получаем:

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q1 + с0, где с0 — однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 пере­нос в следующий разряд.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Проиллюстрируем алгоритм умножения многозначного числа 437 на многозначное число 254.

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чи­сел, и запоминают.

Вспомним для начала смысл умножения двух натуральных чисел. Произведение двух натуральных чисел a и b – это сумма b слагаемых, каждое из которых равно a .

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.

Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.

В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел. Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.

Аналогично, произведение целого числа и нуля есть «сумма, состоящая из нуля слагаемых». То есть, примем a·0=0 для любого целого числа a .

Более того, этот смысл сохраним и для произведения, в котором первым слагаемым является любое целое число (отрицательное, нуль или положительное), а вторым слагаемым является целое положительное число. Например, произведение целого отрицательного числа −4 и целого положительного числа 5 будем понимать как (−4)·5=(−4)+(−4)+(−4)+(−4)+(−4) .

Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.

Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. Выражение вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .

В указанном свете умножение целого числа на единицу есть «сумма из одного слагаемого», равного первому множителю, то есть, a·1=a , где a – любое целое число. То есть, единицу будем считать нейтральным целым числом по умножению.

Умножаемые целые числа называются множителями. Результат умножения называется произведением. Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».

Так как целые положительные числа являются натуральными числами, то за произведением целых положительных чисел оставим этот же смысл. То есть, , где a и b – любые целые положительные числа.

Умножение целых чисел, правила, примеры

Сейчас мы получим правила умножения целых чисел, позволяющие свести умножение целых чисел к хорошо известному нам умножению натуральных чисел.

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 — »то результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

По таблице сложения заменяем суммы ск + b к-1, где 0 £ к £ n и к: = 0, 1, 2, . n, их значениями. Если, например, с 0 одно­значно, то последняя цифра произведения равна с 0. Если же с 0 = 10 + m 0, то последняя цифра равна m 0, а к скобке ( с1 + b0 ) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х ∙ у.

2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х · b0 под числом у.

428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 = 400 × 3 + 20 × 3 + 8 × 3 = 1200 + 60 + 24 = 1284. Основой выполненных преобразований являются:

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многознач­ных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение много­значных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столби­ком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде ал­горитм умножения многозначного числа х = аn а n-1 …а1 а0 на однозначное число у.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428 × 263. Представим число 263 в виде суммы 2× 10 ² + 6 ×10 + 3 и запишем произведение 428 × (2× 10 ² + 6 ×10 + 3 ). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428 × (2× 10 ²) + 428 × (6 ×10 ) + 428 × 3 . Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428 × 2) × 10 ² + (428 × 6) ×10 + 428 × 3 . Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Алгоритм умножения

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х · bк.

Деление числа на произведение

  • Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. – М.: 2013. – 96 с. + 128 с. +96 с.
  • Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова – М.: Просвещение, 2010.
  • Математика. 4 класс. Учебник в 2 ч. Башмаков М.И., Нефедова М.Г. – 2009. – 128 с., 144 с.
  • Мы находили значение выражения разными способами. Результаты получились одинаковыми.

    3. Левая часть: . . Правая часть: . . . Равенство верное.

    Как это проверить? Пользуясь правилом порядка выполнения действий, вычислим значения левого выражения от знака равно и правого выражения от знака равно. Если их значения одинаковые, значит, равенство верное.

    . Воспользуемся правилом деления числа на произведение чисел и найдем более удобный способ. 270 – это 27 десятков. А 27 десятков удобно разделить на первый множитель 9. . Разделим теперь полученный результат, 30, на второй множитель 5. .

    Чтобы разделить число на произведение, вычислим сначала произведение в скобках. .

    1. Итак, в левой части, по правилу порядка выполнения действия, нужно сначала выполнить действия в скобках. . . В правой части, по правилу выполнения порядка действий, здесь нет скобок, поэтому действия выполняем по порядку. . . Значение левой части – 6. Значение правой части – 6. Они одинаковые, значит равенство верно.

    Вычислим сначала произведение в скобках. . Это круглое число. 80 легко разделить на 10, для этого достаточно убрать 0.

    4. Левая часть: . . Правая часть: . . . Равенство верное.

    Число можно сначала разделить на второй множитель и полученный результат разделить на первый множитель.

    Чтобы число разделить на произведение, можно сначала число 24 разделить на второй множитель 4. И полученный результат, разделить на первый множитель 3. .

    Чтобы разделить число на произведение чисел, можно сначала число 24 разделить на первый множитель 3. А полученный результат разделить на второй множитель 8.

    Сравним значение первого выражения со значением первого выражения: – они одинаковые. Значит, чтобы умножить число на произведение чисел, можно сначала умножить число на второй множитель и затем результат умножить на первый множитель.

    2. Чтобы умножить число 7 на произведение чисел, можно сначала умножить число 7 на первый множитель 2, а затем получившийся результат умножить на второй множитель 5. Получаем:

    3. Чтобы умножить число 7 на произведение чисел, можно сначала умножить это число на второй множитель 5, а затем получившийся результат умножить на первый множитель 2. Получаем:

    Умножение числа на произведение

    1. Если сначала вычислить значение произведения в скобках , будет . А умножать двузначные числа на двузначные мы не умеем. Поэтому, умножим число 12 на первый множитель 5, а затем получившийся результат умножим на второй множитель 7. Получаем:

    Подумайте, как разными способами сосчитать, сколько всего рублей составляют все эти монеты.

    2. Вычислим сначала произведение чисел в скобках: . Но если 5 умножить на второй множитель 2, то получим круглое число 10, а на десять легко умножить второй множитель 32: .

    Узнаем сначала, сколько рублей составляют монеты в вертикальном ряду (рис. 1). В одном ряду мы видим две монеты по 5 рублей. Возьмем два раза по пять рублей, получим десять рублей, а затем четыре раза по десять рублей, ведь вертикальных рядов всего 4.

    1. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 1 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. – 3-е изд., перераб. – Минск: Нар. асвета, 2008. – 134 с.: ил.
    2. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова. – М.: Просвещение, 2011.
    3. Математика: учеб. для 4-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 2 / Т.М. Чеботаревская, В.Л. Дрозд, А.А. Столяр; пер. с бел. яз. Л.А. Бондаревой. – 3-е изд., перераб. – Минск: Нар. асвета, 2008. – 135 с.: ил.

    Сравним значение первого и второго выражения: , они одинаковые. Значит, чтобы умножить число на произведение чисел, можно сначала вычислить произведение, а затем умножить число на значение этого произведения. Или воспользоваться вторым способом: чтобы умножить число на произведение, можно сначала умножить число на первый множитель, а затем полученный результат умножить на второй множитель. Но есть и другой способ.

    1. Чтобы умножить число 7 на произведение чисел 2 и 5, можно сначала вычислить произведение , а потом число 7 умножить на этот результат. Получаем:

    Мы находили значение одного и того же выражения разными способами, значения получились одинаковые.

    Узнаем сначала, сколько всего монет по 5 рублей. Мы видим 2 ряда по 4 монеты, всего 8 монет. Поэтому по 5 рублей надо взять 8 раз и получим 40 рублей:

    — Сегодня мы будем составлять таблицу умножения числа 7 и таблицу деления на 7. Вспомним все случаи умножения числа 7, когда результат не превышает 20. (Дети называют произведения: 7 · 1 = 7 и 7 · 2 = 14. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях записывают эти выражения в столбик.) Какие ещё примеры умножения числа 7 можно записать, используя переместительное свойство умножения? (Дети называют: 7 · 3 = 21, 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35, 7 · 6 = 42. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях продолжают столбик примеров умножения числа 7.)

    Упр. 1—3, с. 3 выполняются аналогично уроку 15 по теме «Умножение числа 6. Деление на 6».

    — Посмотрите внимательно на получившиеся результаты и скажите: что интересного вы заметили? (Каждый из них больше предыдущего на 7.) Почему, как вы думаете? (Потому что мы умножали число 7 последовательно на числа от 7 до 9.)

    Упр. 5, с. 4 рекомендуется для организации самостоятельной работы по вариантам. Обсуждение выявленной закономерности учащиеся должны провести в итоге проверки работы. У учителя на доске заранее записаны примеры, по ходу проверки он записывает результаты вычислений.

    — Запишите теперь произведение — семью семь. Какое выражение вы записали? (7 · 7.) Сколько получится? (49.) Как узнали? (По 7 взяли слагаемым 7 раз.) Как вычислить этот результат быстрее, зная ответ предыдущего примера? (Надо к 42 прибавить 7, получится 49.) Запишем оба способа вычислений так:

    — Какой пример должен быть следующим в таблице? (7 · 8.) Выполните вычисления двумя способами и запишите решение. Продолжайте дальше составлять и решать примеры на умножение числа 7.

    — Разность чисел 15 и 7 увеличить в 4 раза.

    Правило умножения числа на произведения

    — Вставьте вместо звёздочек такие числа, чтобы получились верные записи.

    1) раскрыть закономерности составления новых табличных случаев умножения числа 7 и деления на 7, закрепить знание таблицы умножения и деления с числами 2, 3, 4, 5 и 6;

    Упр. 4, с. 3 выполняется под руководством учителя.

    2) продолжить работу по совершенствованию вычислительных навыков, умения решать задачи на разностное и кратное сравнение, обосновывать действия.

    УРОК 1. Умножение числа 7. Деление на 7 (с. 3—4)

    1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство ab=ba. Это свойство называют переместительным законом умножения, который формулируется так: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

    Результат действия называется разностью. Сами числа — уменьшаемое и вычитаемое.

    2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (ab)с=a(bс). Это свойство называют сочетательным законом умножения, который формулируется так: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

    Сложение положительного и отрицательного числа — это не что иное, как вычитание! Мало кто задумывается, что вычитание 7-2 можно представить в виде 7+(-2), получили сложение отрицательного и положительного числа. Для того, чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо от большего числа вычесть меньшее, а знак суммы должен совпадать со знаком большего числа.

    2) Для любых натуральных a, b и c верно равенство (a+b)+с=a+(b+с). Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения, который формулируется так: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой.

    Произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное. Например,

    Умножить число а на b — значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

    От перестановки множителей значение произведения не изменяется ab=ba.

    Сумма двух отрицательных чисел. Складываем числа, аналогично положительным, записываем результат со знаком «минус». Например, (-6)+(-5,3)=-(6+5,3)=-11,3.

    Произведение двух чисел одного знака есть число положительное. Например,

    От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется a+b=b+a.

    1) Для любых натуральных чисел a и b верно равенство a+b=b+a. Это свойство называют переместительным (коммутативным) законом сложения, который формулируется так: от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется.

    Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10q10, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 — перенос в следующий разряд.

    Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по — особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 — это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

    Продолжаем вычисление произведений до вычисления хbk.

    ху=(аn10 n +аn–110 n–1 +…+а110+а0)у=(аnу)10 n +(аn–1 у)10 n–1 +…+а0у причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аkу, где 0kn, соответствующими значениями аkу=bk10+с и получаем:

    Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение хb1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х  b1 на 10.

    Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.

    Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число у.

    Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возника­ет этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

    Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

    Основой выполненных преобразований являются:

    Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.

    Переводя данный способ умножения в запись «столбиком», получа­ем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число.

    8 подобных случаях необходимо использовать как знание де­сятичного состава чисел, так и приемы устного внетабличного ум­ножения и деления в пределах 100.

    опирается на правило умножения числа на сумму. Прием письмен­ного умножения на двузначное число можно записать подробно:

    В этом случае имеем три неполных произведения:

    2540-400 = 2540-(4-100) = (2540-4)-100= 10160-100 = 1016000

    2. Запомнить правильный порядок выполнения действия: ум­ножение начинаем с младших разрядов (справа налево).

    При этом уже не соблюдается установка: «записываем разряд под соответствующим разрядом». Записывают одну под другой значащие цифры множителей. Например, в последнем случае значащая цифра 4′(число сотен) второго множителя записывается под значащей цифрой 4 (число десятков) первого множителя. Далее умножение производится по принципу «многозначное число ум­ножаем на однозначное», а результат помножается в уме на количе­ство десятков и сотен в множителях. Технически это выглядит как дописывание к результату справа такого же количества нулей, как в обоих множителях.

    Прием вычислений для случаев вида 200 • 3; 800 : 4; 800 : 200

    2 сот. х3 = 6 сот. 8 сот.: 4 = 2 сот. 8 сот.: 4 сот. = 2

    1) производить подробную, а не сокращенную запись приема. В этом случае выполнять сложение можно по записям неполных произведений, а не в уме, запоминая излишние разрядные едини­цы (использование этого приема рекомендуется для детей, плохо считающих в уме);

    382 • 700 = 267 400 — результат умножения числа 382 на число единиц;

    При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­таты сложить.

    Proudly powered by WordPress